OSS. Si può rappresentare un insieme nei seguenti due modi:

1. Mediante la forma estensiva, ovvero quella di elencare tutti gli elementi uno per uno.
2. Con la forma intensiva, ovvero quella di fissare un insieme "universo" (ambiente) e poi di caratterizzare gli elementi con una certa proprietà

ESEMPIO DI 1. Un insieme rappresentato mediante la forma estensiva è la seguente: ESEMPIO DI 2. Un insieme rappresentato tramite la forma intensiva è l'insieme dei numeri pari , In questo caso la l'insieme universo è (ovvero i numeri naturali) e la proprietà caratterizzante è che deve esiste un numero intero , tale che se moltiplicato per risulta .
Per esempio il numero è pari in quanto esiste il numero intero a cui se moltiplicato viene fuori .
Alternativamente 3 non è pari in quanto non si può trovare nessun numero intero a cui se si moltiplica viene fuori .

Secondo questa nozione primitiva due insiemi vengono considerati uguali se hanno gli stessi elementi; per esempio scriviamo OSS. Notiamo subito che qui non conta l'ordine, a contrario di altri oggetti matematici, che potrebbero essere come le coppie ordinatecoppie ordinate.

In una notazione più rigorosa, si dice che due insiemi e sono uguali se e solo se valgono entrambe le seguenti condizioni:

OSS. Nella matematica è conveniente far esistere un insieme speciale senza elementi, ovvero l'insieme vuoto; indicato con .

PROPOSIZIONE 1. Esiste solo un insieme vuoto; non possono esistere due o più insieme vuoti.
DIMOSTRAZIONE. Non possono esistere due o più insieme vuoti in quanto due insiemi e si differiscono per degli elementi che hanno; però questo non può essere per due insiemi vuoti. Questo perché, per definizione, questi insiemi vuoti non hanno elementi.

PROPOSIZIONE 2. L'insieme vuoto è contenuto in tutti gli insiemi;

DEF. Si definisce l'insieme delle parti di un certo insieme come l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A. Nella teoria degli insiemi, si dà che questa esiste.
Viene denotata come ESEMPIO. Sia , costruire .
DEF. Si definiscono i sottoinsiemi propri le seguenti: ; ovvero gli insiemi appartenenti a e non uguale ad .
Quindi un sottoinsieme proprio si definisce tale quando valgono entrambe le condizioni:
L'insieme della parti è formato dall'insieme stesso e dai sottoinsiemi propri di ; pertanto ESERCIZIO 1. Se ha elementi, quanti elementi ha ?
SOLUZIONE-CONGETTURA. ha elementi
DIMOSTRAZIONE. La seguente dimostrazione è strutturata in 4 passi.

1. Si definisce come esempio l'insieme , quindi .
2. Ora si rappresenta un sottoinsieme di mediante la codificazione in binario; ovvero quella di porre ogni elemento dell'insieme in una posizione e di segnare, se non presente ; se presente
   ESEMPIO 1. L'insieme vuoto viene rappresentato come .
   ESEMPIO 2. Il numero rappresenta
3. Ora se si vuole contare il numero di tutti i sottoinsiemi, si può partire dal numero , che sarebbe il primo sottoinsieme fino ad arrivare il sottoinsieme ; tuttavia si deve considerare il sottoinsieme vuoto , pertanto il numero totale di sottoinsiemi diventa , che in binario eguaglia a .
4. Traducendo al sistema decimale, esso diventa , e il numero coincide con .

Si definisce l'intersezione A seguito la rappresentazione in diagramma di Eulero-Venn

Si definisce l'unione A seguito la rappresentazione in diagramma di Eulero-Venn

E' interessante notare che le operazioni di intersezione e unione costituisce una specie di ponte, o collegamento tra la Teoria degli InsiemiTeoria degli Insiemi e la logica formale, particolarmente con i ConnettiviConnettivi.
Si nota che da un lato viene usata la forma intensiva per rappresentare un insieme, mentre dall'altro vengono usati i connettivi e per rappresentare le proprietà caratterizzanti.
Inoltre si osserva un parallelismo piuttosto interessante tra e .

Si osservano delle proprietà di queste due operazioni quanti si interagiscono tra di esse.
PROPRIETA' 1. Proprietà associativa PROPRIETA' 2. Proprietà simmetrica PROPRIETA' 2. Proprietà distributiva E' possibile anche illustrarli tramite i diagrammi di Eulero-Venn.