data: 2023-09-27
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Teoria degli Insiemi - Sommario
tipologia: sommario
stato: "1"Teoria degli Insiemi
Teoria degli insiemi, operazioni con gli insiemi, sottoinsiemi e cardinalità. Integrato con coppie ordinate e relazioni.
data: 2023-09-27
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Nozione Primitiva di Insieme
tipologia: appunti
stato: "1"Nozione primitiva di insieme, metodi di rappresentazione di un insieme, la questione dell'insieme vuoto
Una nozione primitiva (ovvero una definizione, un concetto che viene dato per saputo) della matematica è l'insieme.
L'insieme equivale a ciò che riferiamo come un'aggregazione, una famiglia, un gruppo, oppure un ente che contiene oggetti (chiamati elementi) che condividono qualche caratteristica.
Per dire che un elemento appartiene ad un certo insieme, si usa la seguente notazione.
OSS. Si può rappresentare un insieme nei seguenti due modi:
ESEMPIO DI 1. Un insieme rappresentato mediante la forma estensiva è la seguente:
Per esempio il numero
Alternativamente 3 non è pari in quanto non si può trovare nessun numero intero
Secondo questa nozione primitiva due insiemi vengono considerati uguali se hanno gli stessi elementi; per esempio scriviamo
In una notazione più rigorosa, si dice che due insiemi
Osservando da Uguaglianza degli insiemiUguaglianza degli insiemi, se vale solo una delle condizioni, che in questo caso prendiamo
OSS. Nella matematica è conveniente far esistere un insieme speciale senza elementi, ovvero l'insieme vuoto; indicato con
PROPOSIZIONE 1. Esiste solo un insieme vuoto; non possono esistere due o più insieme vuoti.
DIMOSTRAZIONE. Non possono esistere due o più insieme vuoti in quanto due insiemi
PROPOSIZIONE 2. L'insieme vuoto è contenuto in tutti gli insiemi;
DEF. Si definisce l'insieme delle parti di un certo insieme
Viene denotata come
DEF. Si definiscono i sottoinsiemi propri le seguenti:
Quindi un sottoinsieme proprio si definisce tale quando valgono entrambe le condizioni:
L'insieme della parti è formato dall'insieme stesso e dai sottoinsiemi propri di
SOLUZIONE-CONGETTURA.
DIMOSTRAZIONE. La seguente dimostrazione è strutturata in 4 passi.
data: 2023-09-27
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Operazioni con gli Insiemi
tipologia: appuntiSia
OSS. Si nota che l'insieme complementare dipende dall'insieme universo scelto; quindi si tratta comunque di un'operazione binaria (?, in realtà da chiedere al prof. come specifica), in quanto si deve fare la scelta di due variabili.
Altre due operazioni importanti sono l'intersezione e l'unione.
Si definisce l'intersezione
Si definisce l'unione
E' interessante notare che le operazioni di intersezione
Si nota che da un lato viene usata la forma intensiva per rappresentare un insieme, mentre dall'altro vengono usati i connettivi
Inoltre si osserva un parallelismo piuttosto interessante tra
Si osservano delle proprietà di queste due operazioni quanti si interagiscono tra di esse.
PROPRIETA' 1. Proprietà associativa
data: 2023-09-28
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Coppie Ordinate e Prodotto Cartesiano
tipologia: appunti
stato: "1"Nozione primitiva di coppia ordinata, differenze tra insiemi e coppie ordinate.
Una coppia ordinata è un aggregato con due elementi, in cui si distingue il primo e il secondo elemento. Una coppia ordinata con elementi
ATTENZIONE. Si deve notare che la coppia ordinata è un concetto diverso da quello dell'insiemeinsieme; infatti
Siano
Si definisce il prodotto cartesiano di
ILLUSTRAZIONE GRAFICA.
ESEMPIO 2.2. Similmente
SUBDEF 2.1. Generalizzando, si definisce
ESEMPIO 2.3. Si hanno
data: 2023-09-28
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Relazioni
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di relazioni con esempi; alcuni attributi che possono essere dati, relazioni di equivalenza e classi di equivalenza.
OSS 3.1. Si vuole rappresentare
Invece per definire prodotti cartesiani si può usare i predicati binari; qui individuo in
ESEMPIO 3.1.1.
Siano gli insiemi
Se si individua che
Il predicato si definisce come una relazione tra due insiemi; in questo caso possiamo chiamarlo come una relazione "d'amicizia".
DEF 3. Una relazione tra
SUBDEF 3.1. Se
ESEMPIO 3.1.
Sia
SUBESEMPIO 3.1.1.
GRAFICO DELLA RELAZIONE DIVIDE.
ESEMPIO 3.2. Consideriamo:
Sia
DEF 4.1. Si dice che la relazione
DIM.
DEF 3. Siano:
DEF 4. Se