Teoria degli Insiemi

Teoria degli insiemi, operazioni con gli insiemi, sottoinsiemi e cardinalità. Integrato con coppie ordinate e relazioni.


Teoria degli Insiemi

Nozione primitiva di insieme, metodi di rappresentazione di un insieme, la questione dell'insieme vuoto , sottoinsiemi.


Nozione primitiva dell'insieme

Una nozione primitiva (ovvero una definizione, un concetto che viene dato per saputo) della matematica è l'insieme.
L'insieme equivale a ciò che riferiamo come un'aggregazione, una famiglia, un gruppo, oppure un ente che contiene oggetti (chiamati elementi) che condividono qualche caratteristica.
Per dire che un elemento appartiene ad un certo insieme, si usa la seguente notazione.

Rappresentazione degli insiemi

OSS. Si può rappresentare un insieme nei seguenti due modi:

  1. Mediante la forma estensiva, ovvero quella di elencare tutti gli elementi uno per uno.
  2. Con la forma intensiva, ovvero quella di fissare un insieme "universo" (ambiente) e poi di caratterizzare gli elementi con una certa proprietà

ESEMPIO DI 1. Un insieme rappresentato mediante la forma estensiva è la seguente: ESEMPIO DI 2. Un insieme rappresentato tramite la forma intensiva è l'insieme dei numeri pari , In questo caso la l'insieme universo è (ovvero i numeri naturali) e la proprietà caratterizzante è che deve esiste un numero intero , tale che se moltiplicato per risulta .
Per esempio il numero è pari in quanto esiste il numero intero a cui se moltiplicato viene fuori .
Alternativamente 3 non è pari in quanto non si può trovare nessun numero intero a cui se si moltiplica viene fuori .

Uguaglianza degli insiemi

Secondo questa nozione primitiva due insiemi vengono considerati uguali se hanno gli stessi elementi; per esempio scriviamo OSS. Notiamo subito che qui non conta l'ordine, a contrario di altri oggetti matematici, che potrebbero essere come le coppie ordinate.

In una notazione più rigorosa, si dice che due insiemi e sono uguali se e solo se valgono entrambe le seguenti condizioni:

Sottoinsieme

Osservando da Uguaglianza degli insiemi, se vale solo una delle condizioni, che in questo caso prendiamo , allora si può riscriverla come la seguente: èPrestando questa notazione, si può riscrivere come ;

L'esistenza dell'insieme vuoto

OSS. Nella matematica è conveniente far esistere un insieme speciale senza elementi, ovvero l'insieme vuoto; indicato con .

PROPOSIZIONE 1. Esiste solo un insieme vuoto; non possono esistere due o più insieme vuoti.
DIMOSTRAZIONE. Non possono esistere due o più insieme vuoti in quanto due insiemi e si differiscono per degli elementi che hanno; però questo non può essere per due insiemi vuoti. Questo perché, per definizione, questi insiemi vuoti non hanno elementi.

PROPOSIZIONE 2. L'insieme vuoto è contenuto in tutti gli insiemi;

Insieme delle parti di un insieme

DEF. Si definisce l'insieme delle parti di un certo insieme come l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A. Nella teoria degli insiemi, si dà che questa esiste.
Viene denotata come ESEMPIO. Sia , costruire .
DEF. Si definiscono i sottoinsiemi propri le seguenti: ; ovvero gli insiemi appartenenti a e non uguale ad .
Quindi un sottoinsieme proprio si definisce tale quando valgono entrambe le condizioni:
L'insieme della parti è formato dall'insieme stesso e dai sottoinsiemi propri di ; pertanto ESERCIZIO 1. Se ha elementi, quanti elementi ha ?
SOLUZIONE-CONGETTURA. ha elementi
DIMOSTRAZIONE. La seguente dimostrazione è strutturata in 4 passi.

  1. Si definisce come esempio l'insieme , quindi .
  2. Ora si rappresenta un sottoinsieme di mediante la codificazione in binario; ovvero quella di porre ogni elemento dell'insieme in una posizione e di segnare, se non presente ; se presente
    ESEMPIO 1. L'insieme vuoto viene rappresentato come .
    ESEMPIO 2. Il numero rappresenta
  3. Ora se si vuole contare il numero di tutti i sottoinsiemi, si può partire dal numero , che sarebbe il primo sottoinsieme fino ad arrivare il sottoinsieme ; tuttavia si deve considerare il sottoinsieme vuoto , pertanto il numero totale di sottoinsiemi diventa , che in binario eguaglia a .
  4. Traducendo al sistema decimale, esso diventa , e il numero coincide con .

Operazioni con gli insiemi

Operazioni con gli Insiemi
Operazioni con gli Insiemi

Elenco di operazioni che possono essere svolte con/tra insiemi.


Operazioni con gli insiemi: breve introduzione ed elenco

E' possibile formare un nuovo insieme partendo da uno o più insiemi, ed è possibile farlo grazie alle operazioni con gli insiemi.
In particolare ne studieremo tre: l'insieme complementare, l'intersezione e l'unione.

Insieme Complementare

Sia l'insieme universo/ambiente e un insieme, allora si definisce Secondo il diagramma Eulero-Venn, essa si rappresenta come:
Insieme complemento.png
OSS. Si nota che l'insieme complementare dipende dall'insieme universo scelto; quindi si tratta comunque di un'operazione binaria (?, in realtà da chiedere al prof. come specifica), in quanto si deve fare la scelta di due variabili.

Intersezione, Unione

Altre due operazioni importanti sono l'intersezione e l'unione.

Intersezione

Si definisce l'intersezione A seguito la rappresentazione in diagramma di Eulero-Venn
Intersezione.png

Unione

Si definisce l'unione A seguito la rappresentazione in diagramma di Eulero-Venn
Unione.png

OSS 1. Nesso tra matematica logica e teoria degli insiemi

E' interessante notare che le operazioni di intersezione e unione costituisce una specie di ponte, o collegamento tra la Teoria degli Insiemi e la logica formale, particolarmente con i Connettivi.
Si nota che da un lato viene usata la forma intensiva per rappresentare un insieme, mentre dall'altro vengono usati i connettivi e per rappresentare le proprietà caratterizzanti.
Inoltre si osserva un parallelismo piuttosto interessante tra e .

OSS 2. Proprietà tra intersezione e l'unione

Si osservano delle proprietà di queste due operazioni quanti si interagiscono tra di esse.
PROPRIETA' 1. Proprietà associativa PROPRIETA' 2. Proprietà simmetrica PROPRIETA' 2. Proprietà distributiva E' possibile anche illustrarli tramite i diagrammi di Eulero-Venn.

Coppie Ordinate e Prodotto Cartesiano

Coppie Ordinate e Prodotto Cartesiano
Coppie Ordinate e Prodotto Cartesiano

Nozione primitiva di coppia ordinata, differenze tra insiemi e coppie ordinate.


DEF 1. Nozione primitiva di coppia ordinata

Una coppia ordinata è un aggregato con due elementi, in cui si distingue il primo e il secondo elemento. Una coppia ordinata con elementi e viene indicata come .
ATTENZIONE. Si deve notare che la coppia ordinata è un concetto diverso da quello dell'insieme; infatti , in quanto è vera per , invece , di conseguenza a meno che .

DEF 2. Prodotto Cartesiano

Siano insiemi;
Si definisce il prodotto cartesiano di e come il seguente:
ESEMPIO 2.1. Il Piano Cartesiano studiato alle scuole superiori si costruisce e si definisce nel seguente modo:Notiamo che gli insiemi sono uguali; infatti OSS 2.1.1. Il Piano Cartesiano appena descritto è un concetto molto importante per la matematica, in quanto esso costituisce un nesso tra i numeri e il piano .
ILLUSTRAZIONE GRAFICA.
Pasted image 20231001144747.png

ESEMPIO 2.2. Similmente ILLUSTRAZIONE GRAFICA
Pasted image 20231001144802.png

SUBDEF 2.1. Generalizzando, si definisce come: SUBDEF 2.1.1 Si definisce la componente come una n-upla (vettore)

ESEMPIO 2.3. Si hanno e ; scrivi e rappresenta graficamente .Pasted image 20231001144820.png

Relazioni

Relazioni
Relazioni

Definizione di relazioni con esempi; alcuni attributi che possono essere dati, relazioni di equivalenza e classi di equivalenza.


DEF 1. Relazioni

OSS 3.1. Si vuole rappresentare come l'insieme dei numeri divisibili per tre: Notiamo che per definire viene usato un predicato unario; si individuano singoli elementi n che soddisfano .
Invece per definire prodotti cartesiani si può usare i predicati binari; qui individuo in le coppie che soddisfano un certo predicato .
ESEMPIO 3.1.1.
Siano gli insiemi l'insieme dei ragazzi in questa aula, l'insieme delle ragazze in questa aula; il predicato è. Ora si vuole rappresentare graficamente il prodotto cartesiano .
Pasted image 20231001144841.png
Se si individua che è amico di , allora si segna il punto dove si verifica il predicato .
Il predicato si definisce come una relazione tra due insiemi; in questo caso possiamo chiamarlo come una relazione "d'amicizia".

DEF 3. Una relazione tra e si definisce come il predicato a valori in .
SUBDEF 3.1. Se , allora si dice che la relazione è una **relazione su .

ESEMPIO 3.1.
Sia ; "" la relazione "divide"; diciamo che se
SUBESEMPIO 3.1.1. è vero in quanto , invece è falso in quanto .
GRAFICO DELLA RELAZIONE DIVIDE.
Pasted image 20231001144852.png

ESEMPIO 3.2. Consideriamo:

    • Breve nota storica: I numeri interi si denotano con dal tedesco "(der) Zahl", ovvero "Numero"
  • Sia
  • è in relazione con se
    - Questa relazione si definisce come congruenza modulo n e viene denotata come o
    GRAFICO DELLA RELAZIONE CONGRUENZA MODULO N(3).
    Pasted image 20231001144902.png

DEF 2. Relazioni riflessive, simmetriche e transitive

Sia un insieme; sia una relazione in ; per dire che un elemento è in relazione con si scrive .

DEF 4.1. Si dice che la relazione è riflessiva se DEF 4.2. Si dice che relazione è simmetrica se DEF 4.3. Si dice che la relazione è transitiva seESEMPIO 4.3.1. La relazione (divide) è transitiva.
DIM. ESERCIZIO. Verificare se è transitiva.

  1. Si prendono tre valori e la relazione
  2. Dire che è transitiva equivale a dire la seguente:
    1. 2. Per definizione, 3. Si osserva che ; pertanto e si pone , completando così la dimostrazione.

DEF 3. Relazione antisimmetrica

DEF 3. Siano: un insieme, una relazione; si dice antisimmetrica se ESERCIZIO. Mostrare che è antisimmetrica.

  1. Si considerano i due valori e la relazione su
  2. Per definizione,
  3. Osservare che: è vera se e solo se
  4. Riprendendo il passaggio 2.,
  5. Osservare che è vera in solo per l'unico valore . Riosservando il passaggio tre, notiamo che si è verificato che , dimostrando così che è antisimmetrica.

DEF 4. Relazione d'ordine

DEF 4. Se è:

  • Riflessiva
  • Antisimmetrica
  • Transitiva
    Allora si dice che è una relazione d'ordine (ordinamento)
    SUBDEF 4.1. Se è l'insieme, una relazione d'ordine, allora si definisce come un insieme ordinato
    ESEMPIO 4.1.1. è un insieme ordinato; infatti se disponiamo su una riga tutti i numeri , si vede immediatamente che tutte e tre le condizioni si verificano. Ad esempio è vero in quanto ; oppure se , allora .
    Pasted image 20231001144915.png

DEF 4.1. Relazione d'ordine totale